Question

有关直线与椭圆相交与过定点的一个问题

Answer 1

解：由题意得：c=√3
∴a^2-b^2=3
又椭圆c过点(√2,√2/2),即2/a^2+1/(2b^2)=1
联立得：b^2=1,a^2=4
∴椭圆方程为x^2/4+y^2=1
则a1(-2,0),a2(2,0)
∴可设lpa1：y=(k1)·x+2·(k1)
lpa2：y=(k2)·x-2·(k2)
又p点位于直线x=4上
∴4·(k1)+2·(k1)=4·(k2)-2·(k2)
∴k2=3·(k1)
即lpa2：y=3·(k1)·x-6·(k1)
设m(x1,y1),n(x2,y2)
联立椭圆c与lpa1方程得：[4·(k1)^2+1]x^2+16·(k1)^2·x+16·(k1)^2-4=0
∴x1=[2-8·(k1)^2]/[4·(k1)^2+1]
将x1带入lpa1方程得：y1=4·(k1)/[4·(k1)^2+1]
联立椭圆c与lpa2方程得：[36·(k1)^2+1]x^2-144·(k1)^2·x+144·(k1)^2-4=0
∴x2=[72·(k1)^2-2]/[36·(k1)^2+1]
将x2带入lpa2方程得：y2=-12·(k1)/[36·(k1)^2+1]
∴lmn：{y-4·(k1)/[4·(k1)^2+1]}/{-12·(k1)/[36·(k1)^2+1]-4·(k1)/[4·(k1)^2+1]}

={x-[2-8·(k1)^2]/[4·(k1)^2+1]}/{[72·(k1)^2-2]/[36·(k1)^2+1]-[2-8·(k1)^2]/[4·(k1)^2+1]}
整理得：x={[1-144·(k1)^4]/[12·(k1)^2+1]}·y+1
当y=0时，x恒等于1
∴mn恒过点(1,0)

Answer 2

您好，这题比较常规，但需要耐心。
y=kx+m
x^2/4+y^2/3=1
联立得
x1+x2=-8km/3+4k^2
x1x2=4m2-12/3+4k^2
所以MN的中点P（-4km/3+4k^2,3m/3+4k2)
此时
PQ与直线l垂直
所以kPQ=1/K
会得到m关于K的一个方程
然后带入判别式使△>0
是关于k^4和k^2的式子，即可解除范围。
具体计算望楼主自己努力