Question

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，证明：（a²-b²）/c² = sin（A-B）/sinC

Answer 1

由正弦定理:
a/sinA=c/sinC
a/c=sinA/sinC,两边同时乘以2cosB,左边分子分母同乘以c.得：
2ac*cosB/c²=2sinAcosB/sinC.
由余弦定理a²+c²-b²=2ac*cosB得：
(a²+c²-b²)/c²=2sinAcosB/sinC
两边同时减去1,可得:
(a²-b²)/c²=(2sinAcosB-sinC)/sinC
且有2sinAcosB-sinC=2sinAcosB-sin(A+B)
=2sinAcosB-(sinAcosB+cosAsinB)
=sinAcosB-cosAsinB
=sin(A-B)
则原式得证.

Answer 2

根据正弦定理A=sinA*2R
B=sinB*2R
C=sinC*2R
再根据特殊的三角函数平方差公式即sinA^2-sinB^2=sin(A+B)*sin(A-B)
代入得左=右