Question

等边三角形ABC的边长为a,求其内切圆的内接正方形DEFG的面积

请不要用三角函数，谢谢，望赐教！

Answer 1

内切圆半径就是圆心到底边距离=1/3高
半径知道了求面积就容易了吧

S=a²/6
答案给了，过程认真算算吧

追问

我不明白为什么“内切圆半径就是圆心到底边距离=1/3高”，请帮我解释一下这用到的是什么知识，谢谢

追答

其实这个是重心的性质，重心就是三条中线的交点，
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
这个用中位线就可以证明了，过一边中点作其中一条中线的平行线，然后就出来了
因为是等边三角形，所以三线合一

追问

可以不用这个方法吗，我们没学过重心！

追答

那设那个中心是O，连接BO和O和底边那个切点D。
OB是角平分线，所以OBC=30度，BD=a/2，r=OD=√3a/6
正方形对角线=直径d=2r=√3a/3
面积=1/2 * (√3a/3)²=a²/6

Answer 2

过A点做垂线交EF与一点Z，证明EF平行于BC，AE=1/2AB，按比例算出AZ长，算出EZ长，就能算出面积了，过程自己算吧