Question

已知函数f（x）在区间（﹣∞，﹢∞）上是增函数，a，b∈R

证明：如果a+b≥0那么f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）

Answer 1

方法一：
分析：（1）根据逆命题的定义写出命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）的逆命题，再进行证明；
（2）写出命题的逆否名，由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真，利用f（x）在R上是增函数，进行证明；

证明：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0，真命题．
用反证法证明：
设a+b＜0，则a＜-b，b＜-a，
∵f（x）是R上的增函数，
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），这与题设f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以逆命题为真．
（2）逆否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），
则a+b＜0，为真命题．
由于互为逆否命题同真假，故只需证原命题为真．
∵a+b≥0，∴a≥-b，b≥-a，
又∵f（x）在R上是增函数，
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）．
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），
∴原命题真，故逆否命题为真．

方法二：证明：运用增函数的定义
a+b≥0
即，a≥-b
从而得， f(a)≥f(-b)
又b≥-a
从而得，f(b)≥f(-a)
两式相加，即可证f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

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Answer 2

证明：因为 a+b≥0
所以 a≥-b ， b≥-a
又因为函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为增函数，
所以f(a）≥f(-b) ) ，f(b) ≥f(-a)
所以f(a)+f(b) ≥f(-a)+f(-b）
这是我的回答，如果对您有帮助，请采纳

Answer 3

a+b>0,那么a>-b，同理b>-a，
根据是增函数，所以有f(a)>f(-b), 后边的是F(b)>f(-a)
然后两者加到一起就可以。。。
步骤不是很清晰，所以你好好整理一下，愿对你有帮助。