Question

求值已知a，b，c均为非零实数，满足b+c-a/a=c+a-b

Answer 1

知a、b、c均为非零实数，满足b+c-a/a=c+a-b/b=a+b-c/c，求分式(a+b)(b+c)(c+a)/abc的值(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c===>
[(b+c)/a]-1=[(c+a)/b]-1=[(a+b)/c]-1===>
(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c令(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k则：b+c=ak，c+a=bk，a+b=ck所以，(c+a)-(b+c)=(b-a)k===>
a-b=(b-a)k===>
(a-b)+(a-b)k=0===>
(a-b)(1+k)=0===>
a=b，或者k=-1同理还有，b=c所以，a=b=c当k=-1时，由b+c=ak得到：b+c=-a
===>
a+b+c=0那么：a+b=-c，b+c=-a，c+a=-b所以，原式(a+b)(b+c)(c+a)/abc=(2a)^3/a^3=8，或者=-1

Answer 2

(b+c-a)/a=(c+a-b)/b=(a+b-c)/c
即(b+c)/a-1=(c+a)/b-1=(a+b)/c-1
于是(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c
令(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=k
则b+c=ak
c+a=bk
a+b=ck
三式相加得(a+b+c)k=2(a+b+c)
由于a、b、c均非0 ，两边同除以(a+b+c)得，k=2
即(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=2
现在来看所要求的式子(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=[(a+b)/c]*[(b+c)/a]*[(c+a)/b]=2*2*2=8