Question

求最大公因数和最小公倍数的几种方法

Answer 1

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。
求最大公约数主要有分解质因数法、公式法。
一、最大公因数求法
1、质因数分解法
质因数分解法：把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。
例如：求24和60的最大公约数，先分解质因数，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24与60的全部公有的质因数是2、2、3，它们的积是2×2×3=12，所以，（24、60）=12。
2、短除法
短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。
短除法求最小公倍数，先用这几个数的公约数去除每个数，再用部分数的公约数去除，并把不能整除的数移下来，一直除到所有的商中每两个数都是互质的为止，然后把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数，例如，求12、15、18的最小公倍数。
3、辗转相除法
辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数的相除余数的最大公约数。
4、更相减损法
刘徽《九章算术》
更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。
《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。”
翻译成现代语言如下：
第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。
第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。
则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。
二、最小公倍数算法
1、分解质因数法
先把这几个数的质因数写出来，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。
2、公式法
由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积。即（a，b）×[a，b]=a×b。所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数。
例如，求[18，20]，即得[18，20]=18×20÷（18，20）=18×20÷2=180。求几个自然数的最小公倍数，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。最后所得的那个最小公倍数，就是所求的几个数的最小公倍数。
三、最大公因数、最小公倍数简介
1、最大公因数
也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。
2、最小公倍数
两个或多个整数的公倍数里最小的那一个叫做它们的最小公倍数。整数a，b的最小公倍数记为[a，b]，同样的，a，b，c的最小公倍数记为[a，b，c]，多个整数的最小公倍数也有同样的记号。

Answer 2

求最大公因数和最小公倍数的方法：
一、
特殊情况：
1
、倍数关系
的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。（如；
6
和
12
的最大公因数是
6
，最小公倍数是
12
。）
2
、互质关系
的两个数，最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。（如，
5
和
7
的最大公因数时
1
，最小公倍数是
5
×
7=35
）
二、一般情况：
1
求最大公因数：
列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。
①
列举法
：如，求
18
和
27
的最大公因数
先找出两个数的所有因数
18
的因数有：
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
27
的因数有：
1
、
3
、
9
、
27
再找出两个数的公因数：
18
的因数有：
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
27
的因数有：
1
、
3
、
9
、
27
1
、
3
、
9
最后找出最大公因数：
9
②
单列举法：
如，求
18
和
27
的最大公因数
先找出其中一个数的因数：
18
的因数有：
1
、
2
、
3
、
6
、
9
、
18
再找这些因数中那些又是另一个数的因数：
1
、
3
、
9
又是
27
的因数
最后找出最大公因数：
9
③短除法
：
3
18
27
3
6
9
除到商是互质数为止，最后把所有的
除数
相乘
2
3
3
×
3=9
④
除法算式法：
用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。
18
÷
9
就是
18
和
27
的最大公因数
27
1
3
9
2
、求最小公倍数：
列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法
。
①
列举法
：如，求
18
和
12
的最小公倍数
先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数：
18
的倍数：
18
、
36
、
54
、
72
12
的倍数：
12
、
24
、
36
、
48
再找出两个数的最小公倍数：
18
的倍数：
18
、
36
、
54
、
72
12
的倍数：
12
、
24
、
36
、
48
②
单列举法：
如，求
18
和
12
的最小公倍数
先找出一个数的倍数：
18
的倍数有：
18
、
36
、
54
、
72
再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数：
36
③大数翻倍法：
如，求
18
和
12
的最小公倍数
把较大的数翻倍（
2
倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到
最小公倍数为止。
如，求
18
和
12
的最小公倍数。可以把
18
翻倍：
18
×
2=36
，
36
又是
12
的倍数，所以
36
是
18
和
12
的最小公倍数。
④
短除法
：用这两个数同时除以一个质数（要能整除）
如，求
18
和
12
的最小公倍数，先用
18
和
12
同时除以质数
2
，再同时除以质数
3
，除到
两个商是互质数（公因数只有
1
）为止。
2
18
12
3
除数
商
除到商是互质数为止，最后把所有的
除数和商
相乘