Question

计算三重积分dxdydz，其中v是由曲面z=x^2+y^2与平面z=1所围成的区域．？

Answer 1

作变换x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu

原式=∫<0,2π>du∫<0,1>rdr∫<r^2,1>dz

=2π∫<0,1>r(1-r^2)dr

=π/2

二重积分的实质：表示曲顶柱体体积。三重积分的实质：表示立体的质量。

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

Answer 2

用截面法来求解！
∭dxdydz=
∫(0,1)dz∬dxdy
显然，∬dxdy为曲面上的截面面积
x^2+y^2=z
则截面为半径为√z的圆，则
∬dxdy=πz
则原式=
∫(0,1) πzdz
=π/2z^2|(0,1)
=π/2

Answer 3

作变换x=rcosu,y=rsinu,则dxdy=rdrdu,
原式=∫<0,2π>du∫<0,1>rdr∫<r^2,1>dz
=2π∫<0,1>r(1-r^2)dr
=π/2.