利用柯西准则判别下列级数收敛性:1+1/2-1/3+1/4+1/5-1/6……
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解答:
是这样的:对于任意的n,考察上述级数第3n+1项到第6n项的和S,有:
S=1/(3n+1)
+
1/(3n+2)
-
1/(3n+3)
+...+
1/(6n-2)
+
1/(6n-1)
-
1/6n
>兄碰
1/(3n+3)
+1/(3n+3)
-
1/(3n+3)
+...+
1/6n
+1/6n
-1/6n
=
1/(3n+3)
+1/羡宽谈(3n+6)
+...+
1/6n
=1/巧含3
*
(1/(n+1)
+
1/(n+2)
+...+
1/2n)
>1/3*
(1/2n
+1/2n
+...+
1/2n)
=
1/3
*
n*1/2n
=1/6
也就是说,根据柯西准则,对于给定的正数ε<1/6,无论n取多大,我们都能找到p=3n,使得上述级数第3n+1项到第3n+p项的和S>1/6>ε,因此级数发散。
是这样的:对于任意的n,考察上述级数第3n+1项到第6n项的和S,有:
S=1/(3n+1)
+
1/(3n+2)
-
1/(3n+3)
+...+
1/(6n-2)
+
1/(6n-1)
-
1/6n
>兄碰
1/(3n+3)
+1/(3n+3)
-
1/(3n+3)
+...+
1/6n
+1/6n
-1/6n
=
1/(3n+3)
+1/羡宽谈(3n+6)
+...+
1/6n
=1/巧含3
*
(1/(n+1)
+
1/(n+2)
+...+
1/2n)
>1/3*
(1/2n
+1/2n
+...+
1/2n)
=
1/3
*
n*1/2n
=1/6
也就是说,根据柯西准则,对于给定的正数ε<1/6,无论n取多大,我们都能找到p=3n,使得上述级数第3n+1项到第3n+p项的和S>1/6>ε,因此级数发散。
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