Question

广义积分收敛性∫(0 ∞)x^m/(1+x^n)dx(m,n≥0)的敛散性

Answer 1

1/x^x＝x^(－x)＝e^(－xlnx)＝求和(n＝0到无穷)(－1)^n(xlnx)^n/n!，
由于(xlnx)'＝lnx+1，因此xlnx在[0,1]上的最小值是－1/e，最大值是0，
于是|xlnx|/n!<＝1/(n!*e)，级数一致收敛，可逐项积分。
而积分（从0到1）(xlnx)^ndx＝积分（从0到1）(lnx)^nd(x^(n+1)/(n+1))
＝(lnx)^n*x^(n+1)/(n+1)|上限1下限0－n/(n+1)*积分（从0到1）x^n*(lnx)^(n－1)dx
＝...＝(－1)^n*n/(n+1)*(n－1)/(n+1)*....*1/(n+1)。
因此通项的积分是1/(n+1)^(n+1)。
故积分（从0到1）dx/x^x＝求和(n＝0到无穷)1/(n+1)^(n+1)，结论成立。

Answer 2

解：分享一种解法，借用“贝塔函数【B(a,b)=∫(0,1)[x^(a-1)](1-x)^(b-1)]dx，a>0，b>0时，收敛】”求解。
设t=x^n/(1+x^n)，∴x=[t/(1-t)]^(1/n)，
∴原式=(1/n)∫(0,1)[t^(m/n+1/n-1)](1-t)^(-m/n-1/n)dt。
∴由贝塔函数的定义，当m/n+1/n>0、1-m/n-1/n>0，即m>-1、n-m>1时，积分收敛。
供参考。