Question

已知集合A=｛x|x^2+4x=0｝,B=｛x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0｝

1.若A∩B=B,求实数a的取值范围
2.若A∪B=B,求实数a的取值范围

因为x^2+4x=0
所以x=0或x=-4
集合A是{0，-4}
如果A∩B=B,
那么B可能有4种情况，即B为空集，B={0},B={-4},B={0,-4}
如果B为空
那么4(a+1)^2-4a^2+4<0
8a+4+4<0
a<-1

如果B={0},或B={-4},
那么x^2+2(a+1)x+a^2-1=0只有1个解
所以4(a+1)^2-4a^2+4=0
得到a=-1
把a=-1代入，得到x^2=0,x=0,满足题意

如果B={0,-4}
那么4(a+1)^2-4a^2+4>0
a>-1
把x=0和x=-4分别代入方程
得到a^2-1=0与16-8(a+1)+a^2-1=0
由a^2-1=0，得到a=1或a=-1
由16-8(a+1)+a^2-1=0
得到a^2-8a+7=0
a=1或a=7
要满足解是0和-4，只能a=1
综上,a<=-1或a=1

(2)如果A∪B=B,因为A={0,-4}
所以A∪B必含有0,-4两个元素，又因为B最多只有2个元素
所以B={0,-4}
由（1）中的第三种情况
得到a=1
我想知道当B={-4},的时候，用伟达定理我算出来的答案是a=3，与答案不符，请问是为什么呢?求高手解答，感激不尽！！

Answer 1

解：容易得到A={0，-4}
x^2+2(a+1)x+a^2-1=0→x²+2ax+a²+2x-1=0→（x+a）²+2(x+a)-2a-1=0
→（x+a+1）²=2（a+1)
（1）如果a+1＜0即a＜-1时，方程无实数根，此时B={ }
（2）如果a+1=0即a=-1时，方程有根x=0，此时B={0}
（3）如果a+1＞0，即a＞-1时，方程有两个不相等的实数根：
x1,2=±【根号2（a+1）】-（a+1)
1.若A∩B=B,求实数a的取值范围
a≤-1时，B包含于A,，符合条件
a＞-1时，A∩B=B，实际上必须A=B，由0是非常x^2+2(a+1)x+a^2-1=0的解有：a=-1或者a=1，其中a=-1不符合前提条件，因此a=1.
综合有：A∩B=B,时，实数a的取值范围为{a|a≤-1}∪{1}
2.若A∪B=B,求实数a的取值范围
由于A有两个元素，B最多有两个元素，而A∪B=B，必须A=B
从而有：
A∪B=B,时，实数a的取值范围为{1}

Answer 2

B=｛x|x^2+2(a+1)x+a^2-1=0｝
B={-4}
即方程有相等实数根
即x1=x2=-4
所以 x1+x2=-2(a+1)=-8 a=3
且x1x2=a^2-1=16 a^2=15
必须同时成立，所以a的值不存在

追问

但是用求根公式，当B只有一个元素的时候，b^2-4ac=0就有办法算出来。我想可能是伟达定理在什么情况下无法运用，我就是想知道为什么没办法，一直搞不懂，所以上来问问！！

追答

判别式=4(a^2+2a+1)-4(a^2-1)=8a+8=0
a=-1

x^2+2(a+1)x+a^2-1=x^2=0
x=0
所以 当B只有一个元素的时候，x=0 B={0}
所以 B不可能={3}
不是韦达定理无法运用，而是必须两个条件同时成立
即
x1+x2=-2(a+1)=-8 且x1x2=a^2-1=16

追问

所以 B不可能={3}

你错了，我算出来的是a=3，B只有空集，只有0、只有-4、有0和-4这4种情况。我是指当你知道X=-4的时候，你用求根公式的方法能算出来正确的a值，用伟达定理算出来的却是错误的，我想知道的是为什么会错了

追答

1. a=3 你代回去一试
x^2+2(a+1)x+a^2-1=x^2+8x+8=0 x不等于-4 所以B≠{-4}
2. 这里B={0} B={-4} 一定是指
x^2+2(a+1)x+a^2-1=0有相等的实数根，即判别式=0
而判别式=0时，只有a=0 B={0}

不存在 当判别式=0时，B={-4}
不是韦达定理的错，是根本没有这种情况，当然计算不出来

追问

恩，是这样的，我代过了，是错，你说没有这种情况，当时不是知道俩个根相等，而且是1元2次方程不就可以用伟达定理了吗？- -。这个我没敢质疑伟达定理，要不你说下什么情况下可以用伟达定理

追答

只要是一元二次方程，知道根的情况下，都可以……

追问

那刚刚知道X1=X2=-4却不可以

追答

这个题你是由 A∩B=B B是A的子集
推出B可能={-4}
但是，到底成立与否，如果不去检验，是不知道的，
所以
假设x1=x2=-4
检验的结果，不成立
不是定理原因，是题目的原因

Answer 3

解：（1）原式等价于（x+1）2（x-2）（x+4）≤0且x≠4，
∴A={x|-4＜x≤2}；
（2）解：∵A∪B=A，
∴B⊆A，
①当2a-1＞a，即a＞1时，B=[a，2a-1]，
∴a＞-4且2a-1≤2，
∴1＜a≤32；
②当2a-1＜a，即a＜1时，B=[2a-1，a]，
∴2a-1＞-4且a≤2，
∴-32＜a＜1．
③2a-1=a时，B={1}，满足B⊆A，…（11分）
综上所述：-32＜a≤32．…（12分）

追问

不好意思阿，这个，这道题的过程我已经弄出来了，但是我不明白的是用伟达定理算出来的是错误的，不是问过程。

Answer 4

3