Question

证明勾股定理的500种方法，要一个不差，带图，急求！！！

Answer 1

证法5】欧几里得的证法
在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。
设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。
其证明如下：
设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。
其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。
分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。
∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A
和
G
都是线性对应的，同理可证B、A和H。
∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。
因为
AB
和
BD
分别等于
FB
和
BC，所以△ABD
必须相等于△FBC。
因为
A
与
K
和
L是线性对应的，所以四方形
BDLK
必须二倍面积于△ABD。
因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。
因此四边形
BDLK
必须有相同的面积
BAGF
=
AB^2。
同理可证，四边形
CKLE
必须有相同的面积
ACIH
=
AC^2。
把这两个结果相加，
AB^2+
AC^2;
=
BD×BK
+
KL×KC
由于BD=KL，BD×BK
+
KL×KC
=
BD(BK
+
KC)
=
BD×BC
由于CBDE是个正方形，因此AB^2
+
AC^2=
BC^2。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的