Question

高数极限问题 设Xn+1 =1/2(Xn+4/Xn)(X0i>0),求lim(n趋向于无穷)Xn

Answer 1

由算术几何均值不等式得
xn+4/xn>=2根号(4)＝4，因此必有x（n+1）>=0.5*4=2。
因此知道序列｛xn}从第一项开始有xn>=2，n＝1，2，3，...。
下面再证明xn是递减的。
直接验证有x2＝1/2(x1+4/x1)<=x1，（此不等式等价于x1^2>=2)
类似有x3=1/2(x2+4/x2)<=x2，....，
于是序列{xn}有极限a，
在x(n+1)=1/2(xn+4/xn)中令n趋于无穷得
a＝1/2(a+4/a)，解得
a＝2，
即lim xn＝2。

Answer 2

-4.2