Question

高等数学中值定理的证明题

Answer 1

先把那个式子写成f'(x)-1-λ[f(x)-x]=0，可以看出f'(x)-1=[f(x)-x]'，令y=f(x)-x，式子变成y'-λy=0，可以当微分方程解一下，这是齐次方程很好解，解出来是y=Ce^(-λx)，或写成ye^(λx)=C，就可以构造F(x)=ye^(λx)=[f(x)-x]e^(λx)。因为从上面步骤知道可以由F'(x)=0推出f'(x)-1-λ[f(x)-x]=0，就可以用罗尔定理得出结论。这类题大都可以用这种解微分方程的方法构造辅助函数。