Question

如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.

Answer 1

解：
分类讨论：
(1)当m+1=0，即m=-1时，f(x)=-4x-3，在(0,+∞)上无零点，舍去
(2)当m+1≠0时，f(x)是二次函数，
f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1
首先要求f(x)=0有实数根，
△=16m²-8(m+1)(2m-1)≥0
2m²-(2m²+m-1)≥0
1-m≥0
∴m≤1且m≠-1
进一步分类：
1)两根有一根为0时，2m-1=0，m=1/2，f(x)=3x²+2x，另一根小于0，不符合题意，舍去
2)两根都为正时，根据韦达定理，得
-4m/[2(m+1)]＞0，得-1＜m＜0
(2m-1)/[2(m+1)]＞0，得m＞1/2或m＜-1
此时无解，舍去
3)两根中，一根为正，一根为负，则根据韦达定理，得
(2m-1)/[2(m+1)]＜0
∴-1＜m＜1/2
综上所述，m的取值范围是:(-1,1/2)
谢谢