Question

设函数f(x)=lg(2/x+1-1)的定义域为集合A,函数g(x)=根号下1-a^2-2ax-x^2的定义域为

集合B
1求证函数f(x)的图像关于原点成中心对称
2 a>=2a是A交B=空集的什么条件

Answer 1

f(x)=lg(2/﹙x+1﹚-1)

2/﹙x+1﹚-1＞0

2/﹙x+1﹚＞1

0＜x+1＜2

﹣1＜x＜1

f(﹣x)=lg[2/﹙﹣x+1﹚-1]，

f(x)+f(﹣x)=lg(2/﹙x+1﹚-1)+lg[2/﹙﹣x+1﹚-1]

=lg﹛[﹙1-x﹚／﹙1＋x﹚][﹙1＋x﹚／﹙1－x﹚]﹜=lg1=0

∴f(﹣x)=﹣f(﹣x)

∴f(x)=lg(2/x+1-1)是奇函数，

∴函数f(x)的图像关于原点成中心对称

g(x)=根号下1-a^2-2ax-x^2

1-a²-2ax-x²≥0

﹙x＋a﹚²≤1

﹣1≤x＋a≤1

﹣1-a≤x≤1-a

 

若A交B=空集，则

∴1-a≤-1或-1-a≥1

即a≤-2或a≥2

∴a≥2是A交B=空集的充分不必要条件

Answer 2

1）
f(x)=lg(1-x)/(1+x)
要使函数有意义必须(1-x)(1+x)>0==>-1<x<1
所以A=（-1，1）
f(-x)=lg(1+x)/(1-x)
f(-x)+f(x)=lg(1+x)/(1-x)+lg(1-x)/(1+x)=lg[(1+x)/(1-x)]*[(1-x)/(1+x)]=lg1=0
所以f(-x)=-f(x),即函数，f(x)是奇函数，所以f(x)的图像关于原点对称。
2）
g(x)=√[(1-a^2)-2ax-x^2]
要使函数有意义必须；
[(1-a^2)-2ax-x^2]≥0
即： [x-(a-1)][x-(a+1)]≤0
a-1≤x≤a+1
若a≥2a==>a≤0
(i)若a=0,A∩B不是空集，a+1≤-1时，A∩B=空集；
因此，a≥2a=≠>A∩B=空集；
反之若A∩B=空集，
因为B不空，所以，a+1≤-1,或a-1≥1有两种情况，其中只有一种情况满足a≥2a,

那就是a≤-2
因此A交B=空集也推不出a≤2a
所以
a>=2a是A交B=空集的既不充分，也不必要条件。

Answer 3

（-2,2）

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