Question

设a属于R.函数f(X)=ax3-3x2

设a属于R.函数f(X)=ax3－3x2 （1）若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值。（2）若函数g(x)=f(x)+f '(x) x属于[0,2]在x=0处取得最大值，求a的取值范围 用导数的方法解一下 谢谢

Answer 1

设a属于R.函数f(X)=ax3－3x2 （1）若x=2是函数y=f(x)的极值点，求a的值。（2）若函数g(x)=f(x)+f '(x) x属于[0,2]在x=0处取得最大值，求a的取值范围
(1)解析：∵函数f(X)=ax^3-3x^2
令f’(X)=3ax^2-6x=0==>x1=0，x2=2/a
∵当x=2是函数y=f(x)的极值点
∴2=2/a==>a=1
(2)解析：∵g(x)=f(x)+f '(x)= ax^3+3(a-1)x^2-6x
令g’(x)=3ax^2+6(a-1)x-6=0
∵当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值
∴g’(0)<=0
即，3ax^2+6(a-1)x-6<=0
g’(2)=12a+12(a-1)-6<0==>a<3/4

又∵g(0)=0，与a无关
g(2)=8a+12(a-1)-12<=0==>20a-24<=0==>a<=6/5
∴当a<=6/5时，即能保证函数g(x)在[0,2]上时，在x=0处取得最大值0
∴取a<3/4与a<=6/5的并
∴a<6/5

Answer 2

解：由f(x)的关系式可得f'(x)=3ax^2-6x
(1) x=2是f(x)的极值点，所以有 f'(2)=0
将x=2带入f'(x)的关系式中得：3a*4-6*2=0 a=1
(2)g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3+3(a-1)x^2-6x
x属于[0,2]在x=0 处取得最大值，所以应有g'(x)在x属于[0,2]时是减函数，且g'(0)=0
g'(x)=3ax^2+6(a-1)x-6
g'(x)在区间递减，故应有 g'(0)=0 g'(2)<0
带入g'(x)关系式得：a<3/4

Answer 3

解：∵f′（x)=3ax²-6x=x（3ax-2）
（1）若x=2是函数y=f(x)的极值点
可以得出f′（2）=0，可得a=1/3
（2）若函数g(x)=f(x)+f '(x)，可得：
g（x）=ax^3+3(a-1)x²-6x
g′（x)=3ax²+6（a-1)x-6=3[ax²+2（a-1)x-2]
由g′（x）=0有：[x+(a-1)/a]²=（a²+1）/a²→ x=(1-a)/a±根号[(a²+1)/a²]
g′（0）=-6≠0，
如果g′（2）=12a+12（a-1)-6=24a-18
如果g′（2）=0有：a=3/4，即a=3/4时，x=2 是函数g（x）的驻点。
此时，g′（x）=（3/4)(x-2)(3x+4)
当x＞2或者x＜-4/3时，g′（x）＞0,；-4/3＜x＜2时，g′（x）＜0
因此x=2是函数g（x）的极小值点，且g（x)在[0,2]上是递减函数，g（x）在x=0处取得最大值0。
仅供参考！

Answer 4

1
f(X)=ax³－3x²
f '(x)=3ax²-6x=0
x=0;x=2/a
x=2是函数y=f(x)的极值点
a=1
2
因为f(x)=ax^3-3x^2
所以f'(x)=3ax^2-6x
则g(x)=f(x)+f'(x)=ax^3-3x^2+3ax^2-6x=ax^3+3(a-1)x^2-6x

因为,当x在[0,2]上时,g(x)在x=0处取得最大值,此时g(0)=0
所以,当x在(0,2]上时,必然有g(x)<g(0)=0,即ax^3+3(a-1)x^2-6x<0
由于x>0,
故可得ax^2+3(a-1)x-6<0(这是将不等式两边同除以x得到的,不等号不变方向)

将得到的不等式看成是关于a的不等式,合并同类项,得
ax^2+3ax-3x-6<0
(x^2+3x)a-3x-6<0
a<(3x+6)/x(x+3)

对(3x+6)/x(x+3)进行拆解,(3x+6)/x(x+3)=2/x + 1/(x+3)
所以有a<2/x + 1/(x+3)

当x在(0,2]上时,
2/x在x=2处取得最小值为1,
1/(x+3)在x=2处取得最小值为1/5,
所以,2/x + 1/(x+3)在(0,2]上在x=2处有最小值是6/5,
那么a只要小于2/x + 1/(x+3)在(0,2]上的最小值,就可以满足题目中的条件
所以,a<6/5

追问

导数的方法求 谢谢。
还有 这道题说是在x=0时最大值 并没有说是只在x=0时取得最大值 因此，a小于等于6/5