Question

对称区间积分为零一定是奇函数吗

函数在对称区间积分为零,函数不一定是奇函数吧?
题目说在（-a,a）上对f(x)积分为0,则,f(x)是奇函数.使用f(x)= -f(-x)带入证明的.
但是有反例啊,在（-π,π）上对cosx积分也是0,但是cosx是偶函数~
我觉得是不是题目说错了?

Answer 1

认真看题目，题目应该说的是对任意的a都成立为奇函数。cosx对任意的a是不成立的，比如a=pi/2。
正确解法是等式两边对a求导f(-a)=-f(a)，f(x)为奇函数。

Answer 2

（-a,a）上对f(x)积分为0,则,f(x)是奇函数.---------这个说法是错误的.
例如f(x)=0,x\in（-a,a）\{a/2},f(x)=1,x=1/2,不是奇函数,甚至和奇偶性没什么关系.