Question

高中数列递推公式求通项公式的8种方法例题

只有题目也可以，拜托不要COPY这个是研究性学习的问题，数学书忘记带回家，明天就要结题呐……

Answer 1

参见我对http://zhidao.baidu.com/question/85814449.html的回答：
题:数列中，a1=1,a2=2,
a(n+2)=-a(n+1)+2an
（a后的括号代表下标）求an通项
引:
一般书上讲到特征(方程)根(值)法,发生函数(母函数,生成函数)法,差分方程法,大都只讲其然而不讲其所以然.其实,很容易理解的.
高中课程中,主要讲等差数列,等比数列;复杂的问题,也通过转化为这两者来解决.我们可以看到,其递推式:an=a(n-1)+d;an=qa(n-1),均是一阶递推关系(阶数:即式中未知项的下标差),其一般形为an+xa(n-1)+y=0.
可以通过简单的转化,求得an+xa(n-1)+y=0型递推关系的解,即求得通项an.
关于此，请见下文（&&&）
对于二阶递推式,可以转化为一阶关系来求解.这正与我们研究二次方程时将它转化为两个一次方程一样.正鉴于此,人们在此基础上进一步总结,最后脱离了转化过程,象下围棋的定式一般,总结到了方法,得到了公式,于是就有了特征根法,等等.
解:
构造等式:
a(n+2)-xa(n+1)-y(a(n+1)-xan)=0(***)
即:a(n+2)-(x+y)a(n+1)+xyan=0
与a(n+2)+a(n+1)-2an＝0比较可知:
x,y是方程zz+z-2=0的两根.
(***)式说明:a(n+2)-xa(n+1)是公比为y的等比数列;
于是
a(n+1)-xan=函数f(n)=y^(n-1)(a2-xa1)
(###1)
再构造f(n)=g(n+1)-xg(n)
,从而取an=g(n).
下面另做一个实例（@@@）说明
另外,根据x,y的对称性,
可将(***)式等效转化为
a(n+2)-ya(n+1)-x(a(n+1)-yan)=0(***)
也即:a(n+2)-ya(n+1)是公比为x的等比数列.
于是当x,y不等时,还可得到
a(n+1)-yan=x^(n-1)(a2-ya1)
(###2)
由###1,2两式可以方便地得到an.
在这里,我们可以总结出经验,
an形如ax^n+by^n,系数a,b除可由上面###1,2两式直接得到之外,
但我们既然已经知道了an形如ax^n+by^n
用初始两项a2=ax^2+by^2,a1=ax+by求得则更快.
这便是待定系数法了.
又例：
已知：xa(n)＝ya(n-1)＋z
（*1）
问：如何构造出等比数列，从而求出通项a(n)
解：设xa(n)-u=v(xa(n-1)-u)
（*2）
与xa(n)＝ya(n-1)＋z比较，得
vx＝y，u-uv＝z
解之得：v＝y/x，u＝z/(1-v)＝xz/(x-y)
拓展：
http://hi.baidu.com/wsktuuytyh/blog/item/f3ce1517f4f16c0ec83d6d7b.html

Answer 2

呵呵，这个简单，1.公式法
2累加法
3累乘法4转化法5特征方程法6不动点法7取对数法8.前n项和法