Question

f(x)在区间[0,1]上连续,且f(0)=0 求证任意

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=1,f(1)=0,求证:存在一点ξ属于(0.1),使得f(ξ)=ξ

Answer 1

构造函数g(x)=f(x)-x,故g(x)在闭区间[0,1]上也连续.g(0)=1,g(1)=-1,g(0) 乘以g(1)小于0,由零点存在定理知存在ξ属于(0.1),使得g(ξ)=f(ξ)-ξ=0,即f(ξ)=ξ.