Question

如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是6,E,E1分别是AD,A1D1的中点,则BC1与平面BB

如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长是6，E，E1分别是AD，A1D1的中点，则BC1与平面BB1E1E所成角的正切值等于______。

Answer 1

∵正方体，∴BB1⊥平面A1B1C1D1
过C1作C1F⊥B1E1，∵C1F∈平面A1B1C1D1，∴C1F⊥平面A1B1C1D1
∴BC1在平面BB1E1E上的投影即为BF，所求BC1与平面BB1E1E的夹角即为∠C1BF
且有 C1F⊥BF，tan∠C1BF=C1F/BF
设正方体棱长为a=6，易知 B1E1=√5/2*a，BC1=√2a
由三角形B1C1E1面积公式易知，S△B1C1E1=1/2*B1C1*A1B1=1/2*B1E1*C1F
=> C1F=B1C1*A1B1/B1E1=a*a/(√5/2*a)=2a/√5
BF=√(BC1^2-C1F^2)=√[(√2a)^2-(2a/√5)^2]=√6/√5*a
∴tan∠C1BF=C1F/BF=2a/√5/(√6/√5*a)=√6/3
即BC1与平面BB1E1E所成角的正切值等于√6/3