Question

如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点，求：（1）点G

如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别是棱AA1和CC1的中点，G是A1C1的中点，求：（1）点G到平面BFD1E的距离；（2）四棱锥A1-BFD1E的体积．

Answer 1

（1）由题得：BE＝BF＝FD1＝ED1＝

5

2

a，
∴四边形BFD₁E是棱形，连接EF和BD₁，
有A₁C₁∥EF，设H是EF中点，
连GH、GD₁，则EF⊥GH，EF⊥HD₁，
∴EF⊥面GHD₁，又EF?面BFD₁E中，
∴平面BFD₁E⊥平面GHD₁，
作GK⊥HD₁，则GK⊥面BFD₁E，
则G到平面的距离就是KG长．在RT△GHD₁中，

1

2

GH?GD₁=

1

2

GK?HD₁．
又GH＝

1

2

a，GD1＝

2

2

a，HD1＝

3

2

a，
∴GK＝

6

6

a．
（2）∵A₁C₁∥EF，∴A₁C₁∥平面BFD₁E，
∴G到平面BFD₁E的距离就是四棱锥A₁-BFD₁E的高，
∴VA1?BFD1E＝

1

3

S菱形BFD1E?GK＝

1

3

?

1

2

EF?BD1?GK＝

1

3

?

2

2

a?

3

a?

6

6

a＝

1

6

a3