Question

设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n).且当x>0时，f(x)>1.

1)求证：f(0)=1,且当x<0时，有0<f(x)<1；
(2)判断f(x）在R上的单调性；3）设集合A={(x,y)/f(x^2)*f(y^2)<f(1)},集合B={(x,y)/f(ax-y+5)=1,a属于R},若A交B=空集，求a的取值范围。恳请解答2.3问 谢谢

Answer 1

设函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n).且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(0)=1,且当x<0时，有0<f(x)<1；
(2)判断f(x）在R上的单调性；
(3）设集合A={(x,y)/f(x^2)*f(y^2)<f(1)},集合B={(x,y)/f(ax-y+5)=1,a属于R},若A交B=空集，求a的取值范围。
(1)解析：∵函数f(x)的定义域是R,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)*f(n)
设m=1,n=0
f(1+0)=f(1)*f(0)==>f(0)=f(1)/f(1)=1
令m=x,n=-x
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(-x)=1/f(x)
∵当x>0时，f(x)>1
∴0<1/f(x)<1，0<f(-x)<1
即x<0时，有0<f(x)<1；
(2)解析：设n<0 ，对于实数m有f(m+n)=f(m)*f(n)
∵n<0，∴0<f(n)<1
∵函数f(x)在R上恒大于0m+n<m，
∴f(m+n)<f(m)
即，对于任意实数x1<x2，都有f(x1)<f(x2)成立
∴函数f(x)在R上单调增；
(3)解析：由f(m+n)=f(m)*f(n).
f(x^2)*f(y^2)＝f(x^2＋y^2)<f(1)
∵函数f(x)在R上单调增
∴x^2＋y^2<1
∵f(ax-y+2)=1＝f(0)，∴ax-y+2＝0
∵A∩B=空集
∴x^2＋y^2<1表示的圆内部分与直线ax-y+2＝0无公共点,直线与圆相切或相离
原点到直线y=ax+2的距离为2/√(a^2+1)>=1
解得-√3<=a<=√3

Answer 2

1)
令m=1,n=0，由f(m+n)=f(m)f(n)得
f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)
f(1)[f(0)-1]=0
1>0 0<f(1)<1 f(1)≠0，因此f(0)-1=0
f(0)=1
令m=x,n=-x (x<0)
则-x>0
f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1
f(x)=1/f(-x)
又-x>0时，0<f(-x)<1
因此f(x)=1/f(-x)>1/1=1
f(x)>1
即x<0时，f(x)>1

Answer 3

第二问：有第一问结论和已知条件已知当x属于R时，f(x)都大于0.下面有定义证明（对于证明函数单调性的题一般归于定义法），设x1>x2,则f(x2)>0,且f(x1-x2)>1(因为x1-x2>0),则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=[f(x1-x2)-1]f(x2)>0故f(x)在R上单调递增。
第三问：由集合A再根据已知条件和函数单调性得x^2+y^2<1由B集合得ax-y+5=0而要A交B=空集即圆跟直线没有交点，方法一是转化为二次方程用判别式<=0解得即可；方法二是转化圆心到直线的距离大于或等于半径的长即1，下面有第二种方法解：即|5/a^2+1的和的平方根|>=1解出a即可。

Answer 4

第二问单增.先取m,n>0,则f(m+n)=f(m)f(n)>f(m)。容易知道，f(-x)=1/(f(x))。之后取m>0,n<0，则f(m+n)=f(m)f(n)=f(m)/f(-n)<f(m).
第三问的话，由单调性和函数方程已经可以推出来这实际上就是指数函数。用指数函数直接做就行了。