Question

已知[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=...

已知[x]表示不超过x的最大整数（x∈R），如：[-1.3]=-2，[0.8]=0，[3.4]=3．定义{x}=x-[x]．给出如下命题： ①使[x-1]=3成立的x的取值范围是4≤x＜5； ②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]； ③{20122013}+{201222013}+{201232013}+…+{201220122013}=1006； ④设函数f（x）={{x}x≥0f(x+1)x＜0，则函数y=f(x)-14x-14的不同零点有3个． 其中正确的命题的序号是_____．

Answer 1

①③④
解：∵[x-1]=3，∴{x-1≥3x-1＜4，∴4≤x＜5，∴①正确；
∵[x]≤x＜[x]+1，∴0≤x-[x]＜1，函数{x}的值域是[0，1），∴②错误；
∵{20122013}=20122013，{201222013}={(2013-1)22013}={2013-2+12013}=12013，{201232013}={(2013-1)32013}={20132-3×2013+3-12013}={-12013}=20122013，…，{201220122013}=12013，∴{20122013}+{201222013}+{201232013}+…+{201220122013}=20122013+12013+20122013+…+12013=1006，∴③正确；
∵f（x）={{x}x≥0f(x+1)x＜0，∴0≤f（x）＜1；当0≤x＜1时，f（x）=x，∴y=x-14x-14有零点x=13；当x≥1时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-14x-14在x=1时有最大值12，且无最小值，∴函数y有一零点；当x＜0时，∵0≤f（x）＜1，∴y=f（x）-14x-14在x=0时有极小值-14，且无最大值，∴函数y有一零点；∴④正确．
故答案为：①③④．