Question

已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值

要简洁一点，还要原创
(1) 已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0 求[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]的值 （2）已知abcd为正整数,且b/a=(4d-7)/c,(b+10/a=(7d-7)/c,则c/a=?d/b=?
也要原创，打字清楚点

（3)若abc不=0,且(a+b)/c=(b+c)/a=(c+a)/b,则((a+b)(b+c)(c+a))/abc=?
要求一样

Answer 1

(1)解： ∵a+b+c=0，所以c=-a-b,
∴(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(a-b)/(-a-b)+(b+a+b)/a+(-a-b-a)/b
=(b-a)/(b+a)+2b/a-2a/b,
通分得：(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b
=(2b^3+3ab^2-3a^2b-2a^2)/[(a+b)ab]
=(2b+a)(b+2a)(b-a)/[(a+b)ab].
∵c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=(b+a)/(b-a)+a/(2b+a)-b/(2a+b)，
通分，得c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)=9ab(a+b)/[(2b+a)(b+2a)(b-a)],
∴[(a-b)/c+(b-c)/a+(c-a)/b][c/(a-b)+a/(b-c)+b/(c-a)]=9.

(2)解：由b/a=(4d-7)/c，得c/a=(4d-7)/b
由(b+1)/a=7(d-1)/c，得c/a=7(d-1)/(b+1)
所以：(4d-7)/b=7(d-1)/(b+1)
7b(d-1)=(4d-7)(b+1)
7bd-7b=4db+4d-7b-7
3db=4d-7
得：c/a=(4d-7)/b=3db/b=3d
又因为a，b,c，d均为正整数，3db=4d-7>0,得d>7/4，
又观察得d=7为一个符合条件的值，此时b=1,c/a=21,d/b=7

(3)解： 令k=a+b/c=b+c/a=a+c/b
则a+b=ck
b+c=ak
a+c=bk
相加
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-2)=0
若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=(-c)(-a)(-b)/abc
=-1
若k-2=0
k=2
则a+b=2c
b+c=2a
a+c=2b
则(a+b)(b+c)(c+a)/abc
=2c*2a*2b/abc
=8
综上(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1或8

追问

为什么： 由b/a=(4d-7)/c，得c/a=(4d-7)/b

追答

b/a=(4d-7)/c
等价于bc=a(4d-7)
等价于c/a=(4d-7)/b
就和a/b=c/d等价于d/b=c/a一样的道理
明白了吗？

Answer 2

设﹙a-b)/c=x，(b-c)/a=y，(c-a)/b=z
则原式=﹙x＋y＋z﹚﹙1/x＋1/y＋1/z﹚
=3＋﹙y＋z﹚/x＋﹙x＋z﹚/y＋﹙x＋y﹚/z
∵﹙y＋z﹚/x=[b﹙b-c﹚＋a﹙c-a﹚]/﹙ab﹚·c/﹙a-b﹚
=c﹙b-a﹚﹙b＋a-c﹚/[ab﹙a-b﹚]
=﹣c﹙-c-c﹚/﹙ab﹚
=2c²/﹙ab﹚
∴原式=3＋2c²/﹙ab﹚＋2a²/﹙bc﹚＋2b²/﹙ac﹚
=3＋2﹙a³＋b³＋c³﹚/﹙abc﹚
=3＋2×3abc/﹙abc﹚=9(若a+b+c =0，则a³＋b³＋c³=3abc）
2.c/a=（4d-7）/b=7(d-1)/(b+10)
由后一等式解得b=10（4d-7）/3d=10×4/3—7/3d
带回上式得c/a=3d／10
b,d均为正整数，b>0,得d>7/4，又观察得d=7为一个符合条件的值
则b=10,c/a=2.1,d/b=0.7
3.设﹙a+b﹚/c=﹙b+c﹚/a=﹙c+a﹚/b=k
所以kc=a+b
ka=b+c
kb=c+a
所以2(a+b+c)=k(a+b+c)
当a+b+c不等于0时
k=2
所以(a+b)(b+c)(c+a)/abc=2×2×2=8
或(a+b)(b+c)(c+a)/abc=-1×-1×-1=-1