Question

求概率密度函数 设X在[-1，1]上服从均匀分布，则Y=X平方的概率密度函数是多少？求过程

我算的答案是4倍根号Y分之一，y取值[0，1]。当y为其他取值时，结果为0
但是答案是2倍根号Y分之一，y取值[0，1]。y其他取值结果为0

Answer 1

因为X在[-1，1]上服从均匀分布，故X的概率密度为
fX(x)=1/2,x∈[-1，1]
0,其他
因为Y=X^2
所以当x∈[-1，1]时，y∈[0,1]
当y≤0或y≥1时，Y的概率密度fY(y)=0
当0≤y≤1时，x的反函数为x=-√y，当x∈[-1，0]；x=√y，当x∈[0，1]；
由于y=x^2在x∈[-1，1]上分支单调，即在
x∈[-1，0]单调递减，在x∈[0，1]单调递增
所以fY(y)=fX(-√y)|(-√y)'|+fX(√y)|(√y)'|=(1/2)×|-1/(2√y)|+(1/2)×|1/(2√y)|=1/(2√y)
综上，fY(y)=1/(2√y),y∈[0，1]
0,其他

Answer 2

你的答案是对的，因为你的答案在[0，1]上积分结果为1，而答案肯定不是。