Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是边BC上一点，EF⊥AD，EF交AB于点E，交AC于点F

如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是边BC上一点，EF⊥AD，EF交AB于点E，交AC于点F，求证：AE：AF=BD：DC

Answer 1

作BG//EF，交AC于G，交AD于I
则 BG⊥AD，AE:AF=AB:AG
延长BA到H，使得AH=AG。连结CH

∵ AB=AC，∠BAG=∠CAH，AG=AH
∴ △BAG≌△CAH
∴ ∠ABG=∠ACH
∵ Rt△BAG中，AD⊥BG
∴ △BAG∽△AIG
∴ ∠ABG=∠IAG
即 ∠ABG=∠DAC

∴ ∠DAC=∠ACH
∴ AD//HC
∴ BA:AH=BD:DC
又 AH=AG
∴ BA:AG=BD:DC
又 AE:AF=AB:AG
∴ AE:AF=BD:DC 。

Answer 2

解： 如图所示 作BG//EF，交AC于G，交AD于I 则 BG⊥AD，AE:AF=ABRt△BAG中，AD⊥BG ∴△BAG∽△AIG ∴∠ABG=∠IAG 即∠ABG=∠DAC