Question

已知函数y=g(x)与f(x)=loga(x+1)(0<a<1)的图像关于原点对称。（1）求y=g（x）的解析式

（2）函数F（x）=f（x）+g（x），解不等式F（t²-2t）+F(2t²-1)＜0
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看明天处理后的答案再选为满意答案！！！

Answer 1

因为关于原点对称，所以g（-x）+f（x）=0
g（-x）=-loga（x+1）
所以gx=-loga（1-x）

fx+gx=loga（1+x）-loga（1-x）
首先函数的Fx定义域可以确定是x大于-1小于1
Fx=loga（1+x）-loga（1-x）
F(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)
Fx+F(-x)=0,所以Fx是一个奇函数
由F（t²-2t）+F(2t²-1)＜0
得到F（t2-2t）小于F（1-2t2）
再观察：loga（1+x）-loga（1-x）这显然是一个增函数
所以有-1小于t2-2t小于1-2t2小于1
解这个不等式得到：t大于-1/3小于0或者t大于0小于1

追问

F(x)=loga(x+1)-loga(1-x)不是为减函数吗？

追答

呀呀！a大于0小于1啊，看成a大于1了
这确实是一个减函数
那么就是最后一步倒过来
-1小于1-2t2小于t2-2t小于1

最后应该是t大于1-根2小于-1/3

很不好意思啊！

Answer 2

y=g(x)与f(x)=log(a)[x＋1]的图像关于原点对称，则：
g(x)=－log(a)[1－x]

F(x)=f(x)＋g(x)=log(a)[x＋1]－log(a)[1－x]=log(a)[(x＋1)/(1－x)]，其中－1<x<1
则：
1、函数F(x)是奇函数；
2、函数F(x)在(－1，1)上是递减；
3、F(t²－2t)＋F(2t²－1)<0
F(t²－2t)<－F(2t²－1)
F(t²－2t)<F(1－2t²)
则：
①－1<t²－2t<1，得：1－√2<t<1或1<t<1＋√2；
②－1<2t²－1<1，得：－1<t<0或0<t<1
③t²－2t>1－2t²，即：3t²－2t－1>0，得：t<－1/3或t>1
综合①、②、③，得：1－√2<t<－1/3

Answer 3

1
函数y=g(x)与f(x)=loga(x+1)(0<a<1)的图像关于原点对称
在y=g(x)图像上任取一点P(x,y),则P关于原点的对称点P'(-x,-y)
在y=f(x)的图像上，∴-y=loga(1-x)
∴y=-loga(1-x)
∴g(x)=-loga(1-x) (x<1)
2
F(x)=loga(x+1)-loga(1-x)
=loga[(1+x)/(1-x)] (-1<x<1)
∵0<a<1
∴loga(x+1)为减函数

∵1-x递减 ∴loga(1-x)递增
∴-loga(1-x)递减

∴F(x)=loga(x+1)-loga(1-x)为减函数

∵F(-x)=loga(1-x)-loga(1+x)=-F(x)
∴F(x)为奇函数

∴F（t²-2t）+F(2t²-1)＜0
<==>
F(t²-2t)<-F(2t²-1)=F(1-2t²)
<==>
{ t²-2t> 1-2t²
{ -1<t²-2t<1
{-1<2t²-1<1
<==>
{ 3t²-2t-1>0
{0<(t-1)²<2
{0<2t²<2
<==>
{t<-1/3或t>1
{1-√2<t<1或1<t<1+√2
{-1<t<0或0<t<1
<==>
1-√2<t<-1/3