Question

换元法求解析式的问题

(1)已知f（ 根号x＋1）＝x＋2根号x，求f(x)的解析式。
设t＝＋1≥1，则＝t－1，∴x＝（t－1）2
∴f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）
∴f（x）＝x2－1（x≥1）

‘f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1’为什么不是‘f（x）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1’因为代入x＋2根号x的是x＝（t－1）2，不是t呀
f（ 根号x＋1）和f(x)两个函数中的x是同一个吗，若不是，那为什么要x化成等于（t－1）2再将其带入到对应法则f中去

Answer 1

因为已经把√x＋1整体换为t了，即√x＋1=t，从而相应的√x＝t－1，x＝（t－1﹚²，所以f（t）＝（t－1）²＋2（t－1）＝t²－1。如果是f（x）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1，那么这个对应法则f是怎样对应的呢？所以前后必须一致。
f（√x＋1）和f(x)两个函数中的x不是同一个。f（√x＋1）和f(x)两个函数中相同的是对应法则f，f（√x＋1）中的（√x＋1和f(x)中的x地位才是一样的。采用换元法是因为不易看出由（ √x＋1）到x＋2√x的对应法则才实施换元的，如果配凑掌握得好，也可以这样做：f（√x＋1）=（√x＋1）²-1
∴f﹙x﹚=x²-1﹙x≥1﹚

Answer 2

没有影响，虽然定义域变了，但解析式可以转化，函数值对应相等，所以值域相同。
举个例子
f(x)=1/(x^2+1)
F(t)=1/t
f(0)=F(1)
f(-1)=f(1)=F(2)
都能对应的，所以，值域相同，没有影响