Question

AB为⊙o的直径,C为⊙o上一点,D为CB延长线上一点,且∠CAD=45,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F、

AB为⊙o的直径,C为⊙o上一点,D为CB延长线上一点,且∠CAD=45,CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F。（1）求证：CE=EF (2)若DF=2，EF=4，求AC的长

Answer 1

1）连CF

因为AB是直径

所以∠ACB=90,

因为DF⊥AF,

所以∠AFD=90

所以∠ACD=∠AFD=90,

所以A,C,F，D四点共圆

所以∠DCF=∠DAF,

因为∠CAD=45

所以∠CAB+∠DAF=45

即∠CAF+∠DCF=45

因为CE⊥AF

所以∠CAE+∠ACE=90,

因为∠ACE+∠ECB=90

所以∠CAB=∠ECB

所以∠ECB+∠BCF=45°

因为∠CEF=90

所以△CEF是等腰直角三角形

所以CE=EF

2)

 

过C作CM⊥DF,交DF的延长线于点M,得矩形CEFM,

由CE=EF,得矩形CEFM是正方形

所以CM=EF=4

又EF=4

所以CE=FM=EF=4,

在直角三角形CDM中，由勾股定理，得，

CD^2=CM^2+DM^2

即CD^2=4^2+6^2

解得CD=2√13

因为∠CAD=45,∠ACD=90

所以△ACD是等腰直角三角形，

所以AC=CD=2√13 

Answer 2

第一个问题：
∵AB是⊙O的直径，∴AC⊥DC，又∠CAD＝45°，∴∠ADC＝45°。
∵AC⊥DC、AF⊥FD，∴A、C、F、D共圆，∴∠CFE＝∠ADC＝45°，而CE⊥EF，∴CE＝EF。

第二个问题：
∵CE⊥EF、FD⊥EF，∴CE∥FD，∴△BCE∽△BDF，∴CE/DF＝BE/BF，∴EF/DF＝BE/BF，
∴4/2＝BE/BF，∴BE＝2BF，∴BE＋BF＝3BF，∴3BF＝EF＝4，∴BF＝4/3。
由勾股定理，得：BD＝√（DF^2＋BF^2）＝√（4＋16/9）＝2√13/3。

∵A、C、F、D共圆，∴∠CAE＝∠BDF，又∠CEA＝∠BFD＝90°，∴△ACE∽△DBF，
∴AC/BD＝CE/BF，∴AC＝BD×CE/BF＝（2√13/3）×4/（4/3）＝2√13。