Question

若n为正整数，求证n∧5-5n³+4n能被120整除

Answer 1

证明：n^5-5n³+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为n为正整数，当n小于或等于2时，该算式的值为0，能被120整除。
当n大于2时，该算式就是5个连续的自然数相乘，由常识可知，5个连续的自然数中至少有1个1个倍数、1个2的倍数、一个3的倍数、一个4的倍数、一个5的倍数，这样他们的成绩至少是120的倍数。因此该等式是能被120整除的。

Answer 2

由于n^5-5n^3+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)
=n(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
=P(n+2,5)
又n为正整数，故n,(n-2),(n-1),n,(n+1),(n+2)为五个连续整数！
（注：五个连续整数的乘积能被5！整除，可用数学归纳法证明）
所以n^5-5n^3+4n能被5!=120整除。

Answer 3

n∧5-5n³+4n＝﹙n－2﹚﹙n－1﹚n﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚
120＝1×2×3×4×5
连续5 个整数乘积能被1×2×3×4×5整除，不用再证了吧。

Answer 4

原式=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
因为这是五个连续的正整数，所以其中必有一个是3的倍数，一个是5的倍数
至少有两个连续偶数，两个连续偶数中必有一个为4的倍数，
所以该数是120的倍数

Answer 5

n∧5-5n³+4n
=n(n^4-5n^2+4)
=n(n^2-1)(n^2-4)
=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)
当n=1时上式为0
当n=2时上式也为0
对于任意的正整数n（n＞2）时，则(n-2)、(n-1)、n、(n+1)、(n+2)为5个连续正整数
他们的积能被120整除

Answer 6

裂项放缩