Question

高中数学题54？

Answer 1

三角形的面积我们知道是1/2*ab*sinC，那么在这里就是1/2*AB*AC*sinA
因为A=60°，那么sinA=√3/2
那么我们只要求出AB*AC就好
根据正弦定理我们知道a/sinA=b/sinB=c/sinC,那么在这里就是2/(√3/2)=AB/sinC=AC/sinB
那么AB=4√3/3*sinC,AC=4√3/3*sinB
那么1/2*AB*AC*sinA=√3/4*（4√3/3*sinC）*（4√3/3*sinB）=4√3/3*sinB*sinC
根据积化和差公式，我们有
4√3/3*sinB*sinC=2√3/3（cos（B-C）-cos（B+C））
B+C=120°，也就是说cos（B+C）=cos120°，那么cos（B-C）越大，三角形的面积越大。
余弦值最大为1，那么当B=C时，cos0°=1，所以当B=C时，三角形面积得到最大值。
因为B+C=120°且B=C，所以B=60°，C=60°，三角形为等边三角形
面积为2√3/3*（1+1/2）=√3

Answer 2

Answer 3

根据余弦定理，有：

b²+c²-2bc * sinA = b² + c² - bc = a² = 4
根据不等式性质，有：
b² + c² - bc = 4 ≥ 2bc - bc = bc 注：b² + c² ≥ 2bc
那么，当 b = c 时，bc 的乘积有最大值 bc = 4。
又因为：
S△ABC = 1/2 * bc * sinA
= 1/2 * bc * (√3/2)
= √3 * bc/4
可见 当 b = c 时，S△ABC 有最大值：
S△ABC = √3