Question

已知函数f(x)=-1/3x^3+2ax^2-3a^2x+1

1)求函数f(x)的极大值
2）若x∈ [1-a,1+a]时，恒有-a≤g(x)≤a成立，是确定实数a的取值范围第二问中g(x)=f'(x)

Answer 1

f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=（-x+a）（x-3a）
令 f'(x)>=0
当a=0时， f'(x)<=0恒成立，故f(x)在定义域上单调递减无极大值
当a>0时得a<=x<=3a故f(x)在负无穷到a和3a到正无穷f(x)）单调递减在（a，3a）单调递增故
f(x)）在x=3a处取的极大值 f(3a）=-9a^3+18a^3-9a^3+1=1
当a,<0时得x>a或x<3a故f(x)在负无穷到3a和a到正无穷单调递增在（a，3a）单调递减故
f(x)在x=3a处取的极大值 f(3a）=-9a^3+18a^3-9a^3+1=1
（2）g(x)= f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=（-x+a）（x-3a）
要使-a≤g(x)≤a恒成立只需g(x)在【1-a，1+a】的值域为（-a，a）
g(x)= f'(x)=-x^2+4ax-3a^2的对称轴为x=2a
<1>当1-a>2a即a<1/3时g(x)在定义域内单调递减
g(1-a)= -8a^2+6a-1 g(1+a)=2a-1故值域为（ -8a^2+6a-1，2a-1）
故有 -8a^2+6a-1>-a且2a-1<a得无解
<2>当1+a>2a即a<1时g(x)在定义域内单调递增
g(1-a)= -8a^2+6a-1 g(1+a)=2a-1故值域为（2a-1， -8a^2+6a-1）
故有 -8a^2+6a-1<a且2a-1>-a得1/3<a<1
<3>当1-a<2a<1+a即1/3<a<1时g(x)在[1-a,2a]单增在[2a,1+a]单减
g(2a)= a^2故有-a< -8a^2+6a-1且a^2<a或2a-1>-a且a^2<a得
1/3<a<1
综上1/3<a<1

Answer 2

（1∵f'(x)=-x^2+4ax-3a^2,且0<a<1
当f'(x)>0时,得 a<x<3a; 当f'(x)<0时,得x<a或x>3a；
∴f(x)的单调递增区间为（a,3a）；单调递减区间为（-∞,a）和（3a,+∞）
故当x=3a时,f(x)有极大值，其极大值为f(3a)=1
(2)∵f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-2a)^2+a^2
①当0<a<1/3时,1-2a>a,
∴f'(x)在区间[1-a,1+a]内是单调减
∴f'(x)max=f'(1-a)=-8a^2+6a-1,
f'(x)min=f'(1+a)=2a-1
∵-a≤f'(x)≤a,∴-8a^2+6a-1≤a
2a-1≥-a 此时,a无解,舍去
②当 1/3≤a<1,f'(x)max=f'(2a)=a^2
∵-a≤f'(x)≤a，∴a^2≤a 即0≤a≤1
2a-1≥-a a≥1/3
-8a^2+6a-1≥-a (7-√17)/16≤a≤(7+√17)/16 此时1/3≤a≤(7+√17)/16
综上所述,实数a的取值范围为[1/3,(7+√17)/16 ]

Answer 3

解：（Ⅰ）f′（x）=-x2+4ax-3a2，且0＜a＜1，（1分）
当f′（x）＞0时，得a＜x＜3a；
当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a；
∴f（x）的单调递增区间为（a，3a）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，a）和（3a，+∞）．（5分）
故当x=3a时，f（x）有极大值，其极大值为f（3a）=1．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=-x2+4ax-3a2=-（x-2a）2+a2，
ⅰ）当2a≤1-a时，即0＜a≤
1
3
时，f′（x）在区间[1-a，1+a]内单调递减．
∴[f′（x）]max=f′（1-a）=-8a2+6a-1，[f′（x）]min=f′（1+a）=2a-1．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
-8a2+6a-1≤a2a-1≥-a
∴
a∈Ra≥13
∴a≥
1
3
．
此时，a=
1
3
．（9分）
ⅱ）当2a＞1-a，且2a＜a+1时，即
1
3
＜a＜1，[f′（x）]max=f′（2a）=a2．
∵-a≤f′（x）≤a，∴
f′(1+a)≥-af′(1-a)≥-af′(2a)≤a
即
2a-1≥-a-8a2+6a-1≥-aa2≤a
∴
a≥137-1716≤a≤7+17160≤a≤1.
∴
1
3
≤a≤
7+17
16
．
此时，
1
3
＜a≤
7+17
16
．（12分）
ⅲ）当2a≥1+a时，得a≥1与已知0＜a＜1矛盾．（13分）
综上所述，实数a的取值范围为[
1
3
，
7+17
16 ]．（14分）

Answer 4

请问下，你要求什么呀？

追问

1)求函数f(x)的极大值
2）若x∈[1-a,1+a]时，恒有-a≤g(x)≤a成立，是确定实数a的取值范围
啊啊，这个

追答

第一问进行分类讨论就行了
不过第二问的g(x)的表达式呢？

追问

g(x)=f'(x)

追答

自己思考一下比较好！其实这种题高考是比较喜欢出的！

追问

我思考过了，有点混乱，想不出来

追答

我提示一下第一问：先求导，其导数是个二次函数，结合二次函数的图像，讨论a取不同值是其
图像与x轴交点的个数，注意用到判别式，从而判断什么时候有极大值