Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，且∠ABC=60，PC⊥平面ABCD，PC=2，E是PA的中点。

（1）求证：平面EBD⊥平面AC
（2）求二面角A-EB-D的正切值

Answer 1

AC是直线如果是证垂直AC所在的平面ACP的话
四边形ABCD是菱形则AC垂直于BD又因为PC垂直于平面ABCD
BD属于平面ABCD所以PC垂直于BD
ACPC交于点C所以BD垂直于平面ACP
BD属于平面EBD
平面EBD垂直于平面ACP

过C做AB垂线交F以C为原点建立空间直角坐标系CF为XCP为ZCD为Y
A(根号3,1,0）B（根号3，-1,0）E（（根号3）/2，1/2，1）向量AB=（0,-2,0）向量AE=（（-根号3）/2，-1/2，1）设平面ABE的法向量为a=(x,y,z)
则-2y=0;(（-根号3)/2)X+(-1/2)y+z=o
设X=根号3,则Y=0Z=3/2即a=（根号3,0,3/2）
平面EBD的法向量为CA=（根号3,1,0）
cos<a,CA>=（根号21）/7所以二面角的余弦值为-（根号21）/7则正弦值为（2根号7）/7
正切值为-（2根号3）/3

Answer 2

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