设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R.有f(x+y)=f(x)+f(y)
设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R.有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时,恒有f(x)>0,若f(1)=2.求证:x∈R时,f(x)为单调递增函数...
设定义在R上的函数f(x),对任意x,y∈R.有f(x+y)=f(x)+f(y).且当x>0时,恒有f(x)>0,若f(1)=2.求证:x∈R时,f(x)为单调递增函数
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(1)先证f(0)=0
令x=y=0，得f(0)=2f(0)
故f(0)=0
(2)再证f(-x)=-f(x)
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)
即f(-x)=-f(x)
(3)设x1<x2
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)>0
即f(x2)-f(x1)>0
故x∈R时,f(x)单增
令x=y=0，得f(0)=2f(0)
故f(0)=0
(2)再证f(-x)=-f(x)
令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)
即f(-x)=-f(x)
(3)设x1<x2
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)>0
即f(x2)-f(x1)>0
故x∈R时,f(x)单增
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