求此对称区间定积分公式的证明过程
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简单证明一下即可，答案如图所示
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右=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx=∫(0,a)f(x)dx+∫(0,a)f(-x)dx
对∫(0,a)f(-x)dx进行积分变换，令-x=t，则x=-t，dx=-dt，当x=0时，t=0；当x=a时，t=-a。于是∫(0,a)f(-x)dx=∫(0,-a)f(t)(-dt)=∫(-a,0)f(t)dt=∫(-a,0)f(x)dx，∴右=∫(0,a)f(x)dx+∫(-a,0)f(x)dx=∫(-a,a)f(x)d(x)=左，证毕
对∫(0,a)f(-x)dx进行积分变换，令-x=t，则x=-t，dx=-dt，当x=0时，t=0；当x=a时，t=-a。于是∫(0,a)f(-x)dx=∫(0,-a)f(t)(-dt)=∫(-a,0)f(t)dt=∫(-a,0)f(x)dx，∴右=∫(0,a)f(x)dx+∫(-a,0)f(x)dx=∫(-a,a)f(x)d(x)=左，证毕
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I = ∫<下-a, 上a>f(x)dx = ∫<下-a, 上0>f(x)dx + ∫<下0, 上a>f(x)dx, 前者 令 u = -x
I = ∫<下a, 上0>f(-u)(-du) + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>f(-u)du + ∫<下0, 上a>f(x)dx , 定积分与积分变量无关， 将 u 改写为 x
= ∫<下0, 上a>f(-x)dx + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>[f(x)+f(-x)]dx
I = ∫<下a, 上0>f(-u)(-du) + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>f(-u)du + ∫<下0, 上a>f(x)dx , 定积分与积分变量无关， 将 u 改写为 x
= ∫<下0, 上a>f(-x)dx + ∫<下0, 上a>f(x)dx
= ∫<下0, 上a>[f(x)+f(-x)]dx
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