Question

如何利用对称性求定积分的值？

Answer 1

利用对称性求定积分的值，一般可以根据函数的对称性进行变换和简化，然后进行积分计算。以下是具体的步骤：

1. 确定函数的对称性：观察被积函数是否具有某种对称性，例如关于原点的对称性、关于某条直线的对称性等。

2. 利用对称性进行变换：根据函数的对称性，将被积函数进行适当的变换，使得积分区间变得更易求解。例如，如果函数关于原点对称，可以将积分区间变为只考虑正半轴或半轴的情况。

3. 利用对称性简化表达式：通过对称性的特点，利用函数的性质对被积函数进行简化。例如，若函数关于某条直线对称，则可以利用这个对称性将被积函数的积分化简为间上的积分。

4. 进行积分计算：根据变换后的表达式进行积分计。根据具体情况选择合适的积分方法，如定积分基本公式、换元法、分部积分法等。

需要注意的是，对称性的利用结果取决于具体的函数和积分问题，因此在题目中要根据具体情况来灵活运用对称性求解积分。

Answer 2

一般有以下几个步骤

1.

利用对称性求解定积分的条件:积分区间是对称区间

2.

观察被积函数的奇偶性，比如对于M=∫[-a,a]

f(x)dx

----表示在-a到a上关于f(x)求定积分

当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)=-f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是奇函数时，M=0

当对于任意的x∈[-a,a]，有f(x)=f(-x)，即f(x)在[-a,a]上是偶函数时，M=2∫[0,a]

f(x)dx

上面的方法可以严格地从定积分的定义式(即黎曼和的极限)严格证明，也可以从几何意义加以理解，因为∫[-a,a]

f(x)dx表示在区间[-a,a]上由f(x)围成的曲边梯形的“面积”，其中面积之所以加引号，是因为如果f(x)>0，那就指的是由y=f(x),y=0,x=-a,x=a围成的面积，如果是f(x)<0，那指的是y=f(x),y=0,x=-a,x=a围成的面积的相反数，所以M的值也就指的是在x轴以上的面积减去x轴以下的面积。

于是如果f(x)是奇函数(图像关于原点对称)，在x轴上面的面积等于x轴以下的面积，所以积分为0

如果f(x)是偶函数(图像关于y轴对称)，在y轴两侧的面积相等，所以等于一半区间[0,a]上积分的两倍。