Question

如图：已知在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、c不重合），Q在BC上。

（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在一点M,使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由;若存在，请求出PQ的长

Answer 1

（1）因为BC平方+AC平方=AB平方，所以，△ABC是直角三角形，角C=90度。
△ABC的面积=3*4*1/2=6。
△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等，则△PQC的面积为△ABC面积的一半。
因为PQ//AB，所以，△PQC相似△ABC，
所以，（CP/CA）^2=△PQC的面积/△ABC的面积=1/2，
CP=2根号2。
（2）由（1）知，△PQC相似△ABC，所以，CP/AC=CQ/BC=PQ/AB，设其比值为k，
则CP=kAC=4k，CQ=kBC=4k，PQ=kAB。
AP=AC-CP=（1-k）AC=4（1-k），BQ=BC-CQ=（1-k）BC=3（1-k）。
由 CP+CQ+PQ=AP+BQ+PQ+AB，得 CP+CQ=AP+BQ+AB。
4k+3k=4-4k+3-3k+5，k=5/7，
CP=4*5/7=20/7。
（3）存在。
一：过P作PM垂直AB于M，当PQ=PM时（过Q也要同样做，此时PQ的长相同），作CH垂直AB于H，则CH=BC*AC/AB=12/5。由相似知，（CH-PM）/CH=PQ/AB
AB*（CH-PQ）=CH*PQ，5（12/5-PQ）=12/5PQ，
PQ=20/9；
二：取PQ的中点N，作NM垂直AB于M，则PM=QM，当MN=PQ/2时，三角形PQM为等腰直角三角形。由相似知，（CH-MN）/CH=PQ/AB，AB*（CH-PQ/2）=CH*PQ，
5（12/5-PQ/2）=12/5*PQ，
PQ=120/49。