Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D

（1）.求证：AD是BD和CD的比例中项
（2）.作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：AD²=AE·BE+AF·CF
第一问我证出来了，求第二问过程！谢~

Answer 1

(1)∵AD⊥BC
∴∠BAD+∠B=90º
∴∠B+∠C=90º
∴∠BAD=∠C
∵∠ADB=∠ADC=90º
∴⊿ABD∽⊿CAD
BD／AD=AD／CD
∴AD是BD和CD的比例中项
(2)由（1）可得：DE²＝AE·BE,DF²=AF·CF
∴AE·BE+AF·CF=DE²+DF²=DE²+AE²=AD²

追问

为什么DE²＝AE·BE,DF²=AF·CF呢？

追答

同理可得：⊿AED∽⊿DBE
∴AE／DE=DE／BE
DE²＝AE·BE
⊿AFD∽⊿DFC
∴DF／AF=CF／DF
DF²=AF·CF