Question

ln(1-x)的泰勒级数展开是什么？

Answer 1

      ln(1-x)的泰勒级数展开是：ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ，-1≤ x。
      泰勒展开
      f(x)= f(0)+ f′(0)x+ f′′(0)x 2/ 2！+...+ fn(0)...
      f(x)= ln(x+1)
      f(0)=ln1=0
      f′(0)=1/(x+1)=1
      f′′(0)=-(x+1)^(-2)=-1
      f3(0)=-(-2)(x+1)^(-3)=2
      f4(0)=2*(-3)(x+1)^(-4)=-6
      fn(0)=(-1)^(n+1)*(n-1)！
      ln(x+1)=0+x+(-1)x 2/ 2！+.2*x 3/ 3！+...+ (-1)^(n+1)*(n-1)！*x n/ n！
      =x-x 2/ 2+x 3/ 3-.+(-1)^(n+1)x n/ n
      因为ln(1+x) = Σ (-1)^(n+1) x^n / n ，-1< x ≤ 1，所以ln(1-x) = ln[1+(-x)] = Σ (-1)^(n+1) (-x)^n / n = Σ x^n / n ，-1≤ x。
      扩展资料：带Peano余项的Taylor公式(Maclaurin公式)：可以反复利用L'Hospital法则来推导：
      f(x)=f(x0)+f'(x0)/1！*(x-x0)+f''(x0)/2！*(x-x0)^2+...+f^(n) (x0)/n！(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
      泰勒中值定理：若函数f(x)在含有x的开区间(a，b)有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于(x-x0)多项式和一个余项的和。
      f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2！*(x-x0)^2，+f'''(x0)/3！*(x-x0)^3+......+f(n)(x0)/n！*(x-x0)^n+Rn(x)，其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)！*(x-x0)^(n+1)，这里ξ在x和x0之间，该余项称为拉格朗日型的余项。