Question

已知函数f（x）=x3+2bx2+cx+1有两个极值点X1,X2.且x1属于【-2，-1】，x1属于【1,2】，则f（-1）的

取值范围是

Answer 1

f（x）=x3+2bx2+cx+1
f ' (x) = 3x²+4bx+c = 0，根据韦达定理x1+x2=-4b/3，x1x2=c/3
x1∈【-2，-1】，x2∈【1，2】
x1+x2∈【-1，1】，x1x2∈【-4，-1】
-4b/3∈【-1，1】，c/3∈【-4，-1】
2b∈【-3，3】，c∈【-12，-3】
f(-1) = -1+2b-c+1=2b-c
2b最小值-3，c最大值-3，f(1)最小值-3+3=0
2b最大值3，c最小值-12，f(1)最大值3+12=15
f(-1)取值范围【0，15】

Answer 2

解：f ' (x) = 3x²+4bx+c 其开口方向向上
又x1属于【-2，-1】，x1属于【1,2】
故应满足条件：f ' (-1) <=0 ,f ' (-2 >=0,f ' (1) <=0,f ' (2) >=0
从而得到四个不等式
再画出它们的平面区域
而f(-1)=-1+2b-c+1=2b-c
从而转化为求类似最优解的问题。
还是你自己按照这个思路做一下吧！