Question

双曲线X2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1,F2.过F1作倾角为30度的直线交双曲线友支于M点，若MF2

垂直于x轴，则双曲线的离心率为

Answer 1

∵MF2⊥X轴，
∴△MF1F2是RT△，
∵〈MF1F2=30°，
∴|F2M|=|F1M|/2，（RT△30度所对边是斜边的一半），
∵根据双曲线的定义，
||F1M|-|MF2| |=2a,
∴|MF1|-|MF2|=2|MF2|-|MF2|=|MF2|，
|MF2|=2a,(1)
设M点坐标为（c,y0),
Y0=|MF2|,
代入双曲线方程，
c^2/a^2-y0^2/b^2=1,
c^2b^2-y0^2a^2=a^2b^2,
b^2(c^2-a^2)=a^2y0^2,
y0^2=b^4/a^2,
∴y0=±b^2/a,
因上下对称，研究上半部分即可，
由（1）式，
b^2/a=2a,
∴ b^2=2a^2,
c^2=a^2+b^2=3a^2,
c/a=√（c/a)^2=√[（3a^2)/a^2]=√3，
∴ 离心率e=c/a=√3。