Question

在椭圆x^2+4y^2=4上求一点，使其到直线2x+3y=6的距离最短。

请问用高等数学的作法怎么做？貌似要用到拉格朗日函数？用初高中知识的自重，即使会显得简单。

Answer 1

设M是椭圆上一点，M（x,y),
M至直线距离d=(2x+3y-6|/√13，
作目标函数D=(√13d)^2=(2x+3y-6)^2,
限制条件：x^2+4y^2-4=0,
作函数Φ（x)=(2x+3y-6)^2+λ(x^2+4y^2-4),
∂Φ/∂x=4(2x+3y-6)+2λx=0,
2x+3y-6=-λx/2,(1)
∂Φ/∂y=6(2x+3y-6)+8λy=0,
2x+3y-6=-4λy/3,(2)
比较（1）和（2）式，
-λx/2=-4λy/3，
x=8y/3,(3)
代入限制条件，椭圆方程，
(8y/3)^2+4y^2=4,
100y^2=36,
y=±3/5，
x=±8/5，
从作中可知，直线2x+3y=6通过第一象限，不在第三象限，
故取正值距离最小，而取负值距离最大，
∴当M在（8/5，3/5）时，距直线2x+3y=6最小。
我已用初等数学方法验证，答案没有错。
在椭圆上离直线最短的点是与直线平行的切线，
切线方程为：y=-2x/3+5/3,
求得切点为（8/5，3/5），最短距离为√13/13。