Question

求助！！！为什么导函数只存在第二类间断点？没有第一类间断点？

Answer 1

如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即Darboux定理)得到的。

假定x0是f'(x)的跳跃型间断点，比如a=f'(x0-)<f'(x0+)=b，

取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0<t<d时总有f'(x0-t)<(b+2a)/3 < (a+2b)/3 < f'(x0+t)，

这样在x0的局部f'(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和Darboux定理矛盾。

当然，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。

比如说，|x|的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。

扩展资料：

第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。

a、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个无穷不存在，则称x=Xo为f(x)的无穷间断点。例y=tanx，x=π/2

b、若函数在x=Xo处的左右极限至少有一个振荡不存在，则称x=Xo为f(x)的振荡间断点。例y=sin(1/x)，x=0

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果函数 f(x) 当 x→x0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 limf(x)=f(x0)（x→x0），那么就称函数 f(x) 在点 x0 处 连续。

不连续情形：

1、在点x=x0没有定义；

2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f(x)不存在；

3、虽在x=x0有定义且limf(x)（x→x0）存在，但lim f(x) ≠f(x0)（x→x0）时则称函数在x0处不连续或间断。

参考资料来源：百度百科--第二类间断点

Answer 2

导函数即可导，因为函数可导就必连续，故为第二类间断点。

首先要要弄明白什么第一类和第二类间断点的区别。
设Xo是函数f(x)的间断点，那么

1°如果f(x-)与f(x+)都存在，则称Xo为f(x)的第一类间断点。又如果

（i），f(x-)=f(x+),则称Xo为f(x)的可去间断点。

（ii），f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点。
【可以通俗的理解第一类为，中间出现断裂】

2°不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。

第二类间断点：函数的左右极限至少有一个不存在。

a.无穷间断点：y=tanx，x=π/2

b.震荡间断点：y=sin(1/x),x=0
【看函数b就知道，中间没有断裂】

【再回过头来看，如果导函数有第一类间断点，即中间不连续，即必断裂，而与导函数必连续先矛盾，顾不成立。所以，没有第一类间断点】

追问

谢谢你的回答。不过，为什么导函数必连续啊？

Answer 3

楼上的错误太低级，函数可导只能推出连续，不可能推出导函数也连续。

如果函数f(x)在某开区间上可导，那么其导函数在这个区间上没有跳跃型间断点，这是由导函数的介值性质(即Darboux定理)得到的。

假定x0是f'(x)的跳跃型间断点，比如a=f'(x0-)<f'(x0+)=b，
取x0充分小的邻域(x0-d,x0+d)，使得当0<t<d时总有f'(x0-t)<(b+2a)/3 < (a+2b)/3 < f'(x0+t)，
这样在x0的局部f'(x)将不可能取到(a+b)/2附近的值，和Darboux定理矛盾。

当然，对于导函数的间断点，最好讲得严谨一些，不然是可以找出跳跃间断点的例子的。
比如说，|x|的导函数，虽然x=0处不可导，但如果不讲清楚的话在讨论导函数的时候可以认为x=0是一个跳跃间断点。

Answer 4

因为初等函数在定义域内连续