Question

函数f(x)=|cos2x|+|cosx|的值域怎么求？

Answer 1

函数f(x)=|cos2x|+|cosx|的值域怎么求？
解：cos2x的最小正周期T=π；那么|cos2x|的最小正周期T₁=π/2；
cosx的最小正周期T=2π；那么|cosx|的最小正周期T₂=π；
π/2和π的最小公倍数是π，故|cos2x|+|cosx|的的最小正周期是π.
可以用作图法，也可以用列表法求出它的值域。
x...........................................0........π/4.........π/2.........3π/4...........π
cos2x....................................1.........0...........-1............0................1
︱cos2x︱.............................1.........0............1............0................1
cosx......................................1......√2/2..........0.........-√2/2............-1
︱cosx︱...............................1......√2/2..........0............√2/2...........1
︱cos2x︱+︱cosx︱.............2.......√2/2........1............√2/2............2
由表可见：√2/2≦|cos2x|+|cosx|≦2

Answer 2

cos2x=cosx^2-sinx^2=2cosx^2-1
令t=cosx，-1≤x≤1
f(t)=|2t^2-1|+|t|，可知f(t)是偶函数，那么值域即[0,1]上的值域。

1,令0≤t^2≤1/2,t>0
f(t)=1-2t^2+t
此时f(t)≥f(2^(-0.5))=2^(-0.5),f(t)≤f（1/4)=1-1/8+1/4=9/8

2,1/2≤t^2≤1,t>0

f(t)=2t^2-1+t
f（t)min=f(2^（-0.5）)=2^（-0.5）
f(t)max=f(1)=2
那么值域是[2^（-0.5）,2]

Answer 3

值域当然是指所得值的范围或者叫大小范围。
显然f(x)≧0，且f(x)连续；
由三角函数的定义可知，cosx≦1，cos2x≦1；
则f(x)=|cos2x|+|cosx|≦1+1=2；
当x=0时，f(x)=2；
所以 f(x)值域是[0,2] ；