Question

函数f(x)=|cos2x|+|cosx|的值域怎么求？

Answer 1

函数f(x)=|cos2x|+|cosx|的值域怎么求？
解：cos2x的最小正周期T=π；那么|cos2x|的最小正周期T₁=π/2；
cosx的最小正周期T=2π；那么|cosx|的最小正周期T₂=π；
π/2和π的最小公倍数是π，故|cos2x|+|cosx|的的最小正周期是π.
可以用作图法，也可以用列表法求出它的值域。
x...........................................0........π/4.........π/2.........3π/4...........π
cos2x....................................1.........0...........-1............0................1
︱cos2x︱.............................1.........0............1............0................1
cosx......................................1......√2/2..........0.........-√2/2............-1
︱cosx︱...............................1......√2/2..........0............√2/2...........1
︱cos2x︱+︱cosx︱.............2.......√2/2........1............√2/2............2
由表可见：√2/2≦|cos2x|+|cosx|≦2

Answer 2

f(x)=2sinxcos2x=2sinx(1-2sin^2x)=2sinx-4sin^3x
-1<=sinx<=1
看f(x)=2x-4x^3
令f'(x)=2-12x^2＝0
x=根号6/6，-根号6/6
x在[-1，-根号6/6）上是减函数，在（-根号6/6，根号6/6）上是增函数，在（根号6/6，1]上是减函数
f(-1)=2
f(1)=-2
f(-根号6/6)=-2根号6/9>-2
f(根号6/6)=2根号6/9<2
所以函数的值域是[-2，2]

Answer 3

cos2x=cosx^2-sinx^2=2cosx^2-1
令t=cosx，-1≤x≤1
f(t)=|2t^2-1|+|t|，可知f(t)是偶函数，那么值域即[0,1]上的值域。
1,令0≤t^2≤1/2,t>0
f(t)=1-2t^2+t
此时f(t)≥f(2^(-0.5))=2^(-0.5),f(t)≤f（1/4)=1-1/8+1/4=9/8
2,1/2≤t^2≤1,t>0
f(t)=2t^2-1+t
f（t)min=f(2^（-0.5）)=2^（-0.5）
f(t)max=f(1)=2
那么值域是[2^（-0.5）,2]