Question

如图，在△ABC中，已知CD是AB边上的高，且CD²=AD×BD，则△ABC是直角三角形。请说明理由。

请运用勾股定理的逆定理有关知识回答

Answer 1

一定要勾股定理么。。这分明是射影定理的逆向证明。。
解：
由 CD是AB边上的高
∴ △CDA与△CDB是直角三角形
∴ CD²+AD²=AC²，CD²+BD²=BC²
又 CD²=AD×BD
∴ AC²+BC²=AD²+2CD²+BD²=AD²+2AD×BD+BD²=(AD+BD)²=AB²
即 在△ACB中，有AC²+BC²＝AB²
∴ △ACB是直角三角形
原命题得证.

Answer 2

∵CD⊥AB
∴BC²=CD²+BD²
AC²=CD²+AD²
∵CD²=AD·BD
∴AC²+BC²=BD²+2CD²+AD²
=BD²+2BD·AD+AD²
=(AD+BD)²
=AB²
∴△ABC是直角三角形

Answer 3

解答：
由比例式得：CD／AD=BD／CD，∠ADC=∠CDB=90°，
∴△ADC∽△CDB，
∴∠A=∠BCD，
而∠A＋∠ACD=90°，
∴∠ACD=90°，
∴△ABC是直角△