Question

如图，正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且他们所在平面互相垂直。G为线段BC中点，O为线段DE中

如图，正方形ABCD和ABEF的边长均为1，且他们所在平面互相垂直。G为线段BC中点，O为线段DE中点。求证平面DEG垂直平面ADE

Answer 1

图画的很好看！
GD=EG=2分之根号5，三角形EGO、DGO全等，所以GO垂直于ED，O点在ABCD上的投影是ABCD的中心，设为O'，GO'垂直于AD，所以GO垂直于AD，所以GO是面ADE的垂线，又GO在DEG上，所以DEG垂直于ADE

Answer 2

取坐标系B﹙0.0,0﹚ C﹙1,0,0﹚ A﹙0,1,0﹚ E﹙0,0,1﹚
GD﹙向量﹚＝﹛1/2,1,0﹜ GE＝﹛-1/2,0,1﹜ GED法向量n1＝GD×GE＝﹛1,-1/2,1/2﹜
AD＝﹛1,0,0﹜,AE＝﹛0-1,1﹜ AED法向量n2＝AD×AE＝﹛0,-1,-1﹜
∵n1•n2＝﹛1,-1/2,1/2﹜•﹛0,-1,-1﹜＝0 ∴n1⊥n2, 即平面DEG垂直平面ADE。
[与O没有关系。]

Answer 3

证明：连接AO,AG
由题意易得AG=EG=DG=√5/2，即△DEG为等腰三角形
∵O为线段DE中点
∴GO⊥DE，GO²=EG²-OE²
又 面ABCD⊥面ABEF，面ABCD∩面ABEF=AB，AD⊥AB
∴AD⊥面ABEF
而AE⊆面ABEF
∴AD⊥AE
∴AO=OE
∴AO²=OE²
∵AO²+GO²=AG²
∴AO⊥GO
在平面DEG与平面ADE中
有GO⊥DE，GO⊥AO，平面DEG∩平面ADE=DE
∴平面DEG⊥平面ADE

Answer 4