Question

极限与无穷小的关系是什么?

Answer 1

极限与无穷小的关系是直接根据极限的定义来做的。还可以根据极限的性质之一：和差的极限等于极限的和差来做。

根据极限的性质，如果f（x）和g（x）都有极限。那么lim（f（x）+g（x））=limf（x）+limg（x）lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）。

根据这个性质，很容易就证明这个命题了。必要性：如果lim（x→x0）f（x）=A，令a（x）=f（x）-A，则lim（x→x0）a（x）=lim（x→x0）（f（x）-A）=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）A=A-A=0，所以a（x）是x→x0的无穷小。

而f（x）=A+a（x）充分性也是一样证明。如果f（x）=A+a（x），a（x）是x→x0的无穷小，则lim（x→x0）a（x）=0所以lim（x→x0）f（x）=lim（x→x0）（A+a（x）=lim（x→x0）A+lim（x→x0）a（x）=A+0=A。

所谓极限是指：在自变量的某个极限变化过程中,函数无限趋向于某个常数A,这个常数称为这个函数在自变量的这个变化过程下的极限.也就是说,极限是一个数。

而无穷小是指：在自变量的某个变化过程中,若函数α以0为极限,这个函数称为自变量的这一变化过程中的一个无穷小(量).可见,无穷小是一个函数。