Question

函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，给出下面关于f（x）的命题：

答案有些看不懂，请帮忙解释一下
解：∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1），
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（-1，0）对称， —》这里不懂怎么推出来的
不是奇函数也不是偶函数，①②错；又因为：函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数， —》还有这里不懂怎么来的
所以③错；
∴f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数，④成立．
故只有④为真命题．
故答案为：④．

Answer 1

首先f（x）得定义域为R可得x的取值范围是一切实数，而后面的f（x+1）与f（x-1）中x+1和x-1是遵从函数f（x）的，也就是（x+1)和（x-1）的取值范围也是R。
两者都是奇函数，图像关于原点对称，即f(0)=0.对于一个奇函数，只要f(x)的x=o有意义，那么f(0)=0,即x+1=0,x-1=0时f(x)=0,x=-1,x=1,函数f（x）关于点（-1，0）及点（1，0）对称

追问

哦，谢谢！
还有一个不懂：函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数 。

追答

函数f（x）有两个对称中心（a,0),(b,0)且a不等于b，则f（x）必为周期函数，2|b-a|为他的一个周期，这是一个普遍的结论
如果你还不懂，那么可以这样算，f（-x+1）=-f（x+1），这两个是上面的出的结论，
f（-x-1）=-f（x-1），你可以令这四个括号里的数有两个相等，因为周期就是f（x+T）=f（x）T就是周期，我选择-x+1=x-1,得出x=1，带入得f（0）=-f（2），
f（-2）=-f（0）得到f(2)=f(-2)
即周期为4

Answer 2