Question

在三角形ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C对应的三边，已知b^2+c^2=a^2+bc

在三角形ABC中，a，b，c是三个内角A，B，C对应的三边，已知b^2+c^2=a^2+bc
（1）求角A
（2）若sinBsinC=3/4，试判断三角形ABC形状，并说明理由

Answer 1

(1)b^2+c^2=a^2+bc
b^2+c^2-a^2=bc
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc=bc/2bc=1/2
A=π/3
(2)sinBsinC=3/4
sin(A+C)sinC=3/4
(√3/2cosC+1/2sinC)sinC=3/4
√3/2sinCcosC+1/2sin^2c=3/4
√3/4sin2C+1/4(1-cos2C)=3/4
√3/4sin2C-1/4cos2C=1/2
1/2sin(2C-π/6)=1/2
sin(2C-π/6)=1
0<C<2π/3
-π/6<2C-π/6<7π/6
2C-π/6=π/2
C=π/3
B=π-A-C=π/3
即A=B=C
△ABC为等边三角形

Answer 2

1)cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2
A=60度
2)B+C=180-A=120
sinBsin(120-B)=3/4
-1/2[cos120-cos(2B-120)]=3/4
-1/2-cos(2B-120)=-3/2
cos(2B-120)=1
2B-120=-90
B=15, C=105
此为钝角三角形。

Answer 3

因为
a^2=b^2+c^2-2bcCos60°
所以A=60°
CosA=1/2
CosA=-Cos(B+C)=-CosB CosC+SinB SinC=1/2
SinB SinC=3/4
CosB CosC=1/4
Cos(B-C)=CosB CosC+SinB SinC=1
所以B-C=0，因为A+B+C=180°
所以A=B=C=60°
所以三角形ABC是等边三角形